3|a und 3|b ..... 3| a²-b² < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:14 Fr 13.08.2010 | | Autor: | matheo |
Hallo,
hoffe das mir jmd. weiterhelfen kann. Ich habe versucht folgende Aufgabe zu lösen:
(3|a [mm] \wedge [/mm] 3|b) [mm] \vee [/mm] (3 teilt nicht a [mm] \wedge [/mm] 3 teilt nicht b) [mm] \gdw [/mm] 3| a²-b²
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
1. Fall: 3 | a [mm] \wedge [/mm] 3 | b
[mm] "\Rightarrow" [/mm] a= 3 [mm] a_1 \wedge [/mm] b= 3 [mm] b_1 [/mm] mit natürl. Zahlen [mm] a_1, b_1
[/mm]
[mm] "\Rightarrow" [/mm] a²-b² = 3*3(a²-b²) [mm] "\Rightarrow" [/mm] 3 | a² - b²
2. Fall: 3 teilt nicht a [mm] \wedge [/mm] 3 teilt nicht b ( kann ich hier genauso vorgehen wie im 1.Fall, nur mit weiterer Fallunterscheidung?)
2. Fall 1: Wenn 3 teilt nicht a und 3 teilt nicht b, dann lassen a und b beim Teilen durch 3 jeweils den Rest 1.
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Es gibt k, m [mm] \in \IN_0 [/mm] mit a = 3k +1 und b = 3 m+ 1
[mm] "\Rightarrow" [/mm] a² - b ² = (3k +1)² - (3m +1)² = 9k² + 6 k + 1 - (9m²+ 6m +1) =3* (3k²+2k)+ 1 - 9m²- 6m -1 [mm] "\Rightarrow" [/mm] 3* (3k²+2k)+ 1 + 3*(-3m²- 2m) - 1 [mm] "\Rightarrow" [/mm] 3* (3k²+2k) +3*(-3m²- 2m) [mm] "\Rightarrow" [/mm] 3 | a² - b²
2. Fall 2: Wenn 3 teilt nicht a und 3 teilt nicht b, dann lassen a und b beim Teilen durch 3 jeweils den Rest 2.
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Es gibt k, m [mm] \in \IN_0 [/mm] mit a = 3k +2 und b = 3 m+ 2
[mm] "\Rightarrow" [/mm] a² - b ² = (3k +2)² - (3m +2)² = 9k² + 12 k + 4 - (9m²+ 12m +4) =3* (3k²+4k +1)+ 1 - 9m²- 12m - 4 [mm] "\Rightarrow" [/mm] 3* (3k²+4k+1)+ 1 + 3*(-3m²- 4m-1) - 1 [mm] "\Rightarrow" [/mm] 3* (3k²+4k+1) +3*(-3m²- 2m-1) [mm] "\Rightarrow" [/mm] 3 | a² - b²
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
Kann ich hier einfach folgendes sagen:
3| a [mm] \wedge [/mm] 3 teilt nicht b [mm] \Rightarrow [/mm] 3 | a² und 3 teilt nicht b² [mm] \Rightarrow [/mm] 3 teilt nicht a² - b²
und entsprechend auch 3 teilt nicht a [mm] \wedge [/mm] 3|b [mm] \Rightarrow [/mm] 3 teilt nicht a² und 3 |b² [mm] \Rightarrow [/mm] 3 teilt nicht a² - b²
Oder müsste ich das genauer belegen? Wenn ja, wie könnte ich vorgehen?
Gruß und Dank im Voraus
theo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Fr 13.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bei der Richtung [mm] \Rightarrow [/mm] hast du noch zwei Fälle vergessen, nämlich:
Fall III) 3 Teilt a mit Rest 2 und 3 Teilt b mit Rest 1,
Fall IIII) 3 Teilt a mit Rest 1 und 3 Teilt b mit Rest 2
Für [mm] \Leftarrow [/mm] nur nen Tipp:
[mm] a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)
[/mm]
Und jetzt überlege mal, welche Teilbarkeitsmöglichkeiten entstehen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 19.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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